Introduzione alla Relatività generale

Introduzione: l’equazione di campo di Einstein

In questo articolo si vuole proporre un’introduzione divulgativa alla teoria della Relatività generale, aggiornata al 1915 [1]. Per farlo, partiamo dalla fine: l’equazione di campo di Einstein e le sue rivoluzionarie implicazioni fisiche.

\LARGE R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu\nu}

Si tratta di un’equazione differenziale non lineare in cui l’incognita è la metrica, espressa, come vedremo meglio, nel tensore metrico del primo membro. Solo in casi particolari e semplificati si riescono a ricavare soluzioni esatte di quest’equazione. Ne è un esempio la metrica di Schwartzschild [2], che descrive la curvatura dello spazio-tempo nel caso di una massa perfettamente sferica, scarica e non rotante.

La complessità risiede anche nel fatto che questa equazione non è che la sintesi di altre sedici equazioni: gli indici “mu” e “nu” (la cui pronuncia è spesso discussa: in ambito scientifico è più diffusa la /u/ francese) possono assumere quattro valori ciascuno, da 0 a 3, così che le possibili combinazioni siano proprio 4 ⋅ 4 = 16 (considerando alcune simmetrie interne all’equazione, questo numero può ridursi; questa non è certo la sede per precisazioni così sottili).

Il tensore di Einstein: lo spazio-tempo si distorce

Il primo membro dell’equazione è il tensore di Einstein, che, nella sua forma estesa, è espresso come:

\Large {\mathcal {G}}_{\mu \nu }=\color{red}R_{\mu \nu }\color{normal}-{\frac {1}{2}}\,\color{orange}g_{\mu \nu }\color{green}R

Il termine scritto in rosso è il tensore di Ricci. Esso misura il modo in cui la forma volume della varietà differisce localmente dal volume nello spazio euclideo. È uno dei termini, come si vedrà per la curvatura scalare e il tensore metrico, che all’interno del primo membro dell’equazione descrivono la geometria dello spazio-tempo.

La nozione di tensore – si è capito – è centrale nella geometria differenziale, la quale costituisce l’impalcatura dello spazio-tempo descritto dalla teoria della relatività. Semplificando, si può dire che un tensore sia una tabella di numeri (funzioni) n-dimensionale, come una matrice. Entro questa matrice è contenuta una determinata informazione circa la geometria dello spazio-tempo (o altri tipi di informazione: il tensore energia-impulso, come vedremo tra poco, riguarda la distribuzione di energia e materia in un punto).

Lo scalare di Ricci (in verde), anche detto curvatura scalare, è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto dello spazio-tempo (ad ogni evento) un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà riemanniana (curva) intorno a quel punto. Geometricamente, consiste in un numero che misura il modo in cui un volume è distorto in corrispondenza di un dato punto. Ad esempio, se la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una sfera centrata nello stesso punto sarà inferiore rispetto al volume di una sfera con lo stesso raggio centrata in un qualsiasi punto dello spazio piatto euclideo.

Infine, il tensore metrico (in giallo nell’equazione riportata sopra). Il tensore metrico, descrivendo la metrica, ovvero le distanze e i rapporti fra i punti/eventi dello spazio-tempo, costituisce la vera incognita dell’equazione di campo di Einstein. È utilizzato, tra le altre cose, nella generazione delle connessioni (oggetti peculiari della geometria differenziale) che costituiscono le equazioni delle geodetiche. Una geodetica è il percorso più breve fra due punti di una superficie curva: un concetto chiave della Teoria della relatività generale, in quanto riuscirà a spiegare il moto degli oggetti nelle quattro dimensioni (tre spaziali e una temporale) e, quindi, la gravità.

Sorgenti di gravità: il tensore energia-impulso

Al secondo membro, invece, troviamo, come unica quantità variabile, il tensore energia-quantità di moto (in blu).

\Large R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^{4}}\color{blue}T_{\mu\nu}

Il tensore energia-quantità di moto, o tensore energia-impulso, è un’altra tabella di numeri, una matrice 4 ⋅ 4 in cui sono descritti i flussi di energia e di quantità di moto associati ad un campo. La materia e l’energia, la loro densità e il loro flusso, sono sorgenti di gravità nel senso che possono deformare il percorso delle geodetiche.

In particolare, nell’ambito della relatività di Einstein, la quantità di moto assume la forma di quadrivettore: il quadrimpulso, che ne rappresenta la generalizzazione nelle 4 dimensioni. Di seguito, il quadrimpulso espresso in termini di quadrivettori p e v. E/c è la componente temporale del quadrivettore, mentre nelle tre dimensioni spaziali il quadrimpulso si compone di tre vettori quantità di modo.

Si ricordi che, per le trasformazioni di Lorentz, la massa di un oggetto in moto è data dal prodotto tra il fattore gamma e la relativa massa in quiete.

Interpretazione fisica

L’equazione di campo di Einstein mostra come la gravità sia un fenomeno sostanzialmente apparente, dipendente dalla struttura intrinseca dello spazio e del tempo. Secondo la teoria, infatti, gli oggetti

• non sono mai statici, ma si muovono costantemente a velocità c, nelle loro componenti spaziali e temporali. Nello spazio-tempo, l’accelerazione nello spazio comporta una decelerazione nel tempo: i due contribuiti possono avere proporzioni diverse; l’oggetto viaggia a velocità diverse nello spazio e nel tempo. Tuttavia, il (quadri)vettore risultante sarà sempre pari alla velocità della luce.
• si muovono in linea retta, ovvero secondo le geodetiche. Gli oggetti che si muovono nell’universo non hanno motivo di variare la direzione del loro moto. Proseguono diritti, la loro traiettoria non è curvata. A curvare, distorcersi, dilatarsi e contrarsi non è l’oggetto o la sua traiettoria, ma lo spazio-tempo stesso in cui l’oggetto è immerso. Questa deformazione intrinseca allo spazio-tempo consiste nella deformazione delle geodetiche, che si traduce in metriche diverse.

Ecco quindi che si può spiegare la gravità secondo Einstein: massa ed energia (il tensore energia-impulso) deformano la geometria dello spazio-tempo (tensore di Einstein), ovvero determinano una curvatura delle geodetiche; gli oggetti a cui non sono applicate forze esterne si muovono (nello spazio e nel tempo) in modo naturale secondo i percorsi delle geodetiche, che, venendo deflesse, possono anche intersecarsi, determinando l’illusione di una forza a distanza che attragga gli oggetti, quella che volgarmente noi chiamiamo forza di gravità.

Note

[1] Articolo originale in PDF: qui.

[2] Spunti: https://amslaurea.unibo.it/16343/1/Tesi_Cornacchia_Isabel.pdf

Nei prossimi articoli, la Relatività generale verrà ripresa ampiamente nell’analisi della metrica di Minkowsky e di Schwartzschild (vedi La metrica di Schwartzschild), e sempre in termini divulgativi. Verrà mostrata l’origine di oggetti fisici come i buchi neri (leggi La metrica di Schwartzschild e L’origine del termine “buco nero”) o le onde gravitazionali, previsti dalla Teoria di Einstein e osservati sperimentalmente nell’arco di un secolo (leggi Progetto EHT: la foto del secolo). Verranno inoltre trovati dei punti di contatto tra la Relatività e altre branche della Fisica moderna, quali termodinamica (radiazioni di Hawking) e fisica quantistica.