La metrica di Schwartzschild

Come si è accennato nell’articolo Introduzione alla Relatività generale, quella di Schwartzschild fu la prima delle soluzioni esatte dell’equazione di campo della Relatività generale [1]. Risale infatti al 1916 l’invio dell’elaborato al fisico tedesco Albert Einstein, che della Teoria della relatività era l’autore. Karl Schwartzschild, che nel 1914 si era arruolato nell’esercito tedesco, purtroppo morì pochi mesi dopo a causa di una forma di pemfigo contratta sul fronte orientale.

Le condizioni di partenza

La soluzione di Schwartzschild descrive il campo gravitazionale generato da una sorgente con simmetria sferica, elettricamente neutra e non rotante [2]. Questa metrica descrive lo spazio-tempo all’esterno della sorgente di gravità, e cioè nel vuoto (dove il tensore energia-impulso è nullo). Come vedremo, questa assunzione risulterà di fondamentale importanza nella derivazione della soluzione di Schwartzschild dall’equazione di campo di Einstein. Inoltre, è necessario assumere l’annullamento della costante cosmologica, dal momento che la soluzione non si riferisce a scale cosmologiche e non considera alcun effetto dell’espansione intrinseca dell’universo.

Date queste caratteristiche della sorgente, si avrà che per la metrica di Schwartzschild le soluzioni saranno statiche, e cioè simmetriche rispetto alla coordinata temporale (per il teorema di Birkhof, tutte le soluzioni a simmetria sferica sono necessariamente statiche).

\large R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\color{red}\cancel \Lambda \color{normal}g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}\color{red}\cancel T_{\mu\nu}

\large \color{normal} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0

\large \Rightarrow R_{\mu\nu}=0

A seguito di alcuni passaggi algebrici – che qui riportiamo solo in minima parte – , si ottiene una notevole semplificazione dell’equazione di campo di Einstein. Il fatto che il tensore di Ricci si annulli non significa che lo spazio-tempo abbia una curvatura nulla (il tensore di Riemann della varietà non è nullo). In prossimità della sorgente, infatti, lo spazio-tempo è curvo; mano a mano che ci si allontana dalla sorgente, la curvatura diminuisce fino ad annullarsi: lo spazio-tempo, dall’essere descritto dalle soluzioni di Schwartzschild, verrà descritto allora dalla metrica di Minkowsky della Relatività ristretta (spazio-tempo “piatto”).

Lo spazio-tempo vuoto: la metrica di Minkowsky

Come si è detto, molto lontani dalla sorgente di gravità (un pianeta, una stella, o anche un buco nero), lo spazio-tempo è considerato vuoto e deve poter essere descritto dalla Relatività ristretta. La metrica della geometria dello spazio-tempo “piatto” (o meglio, vuoto) è quella di Minkowky, il cui tensore metrico, nella convenzione ( + – – – ) e in coordinate cartesiane, risulta essere:

\Large g_{\mu\nu}={\begin {pmatrix}
-1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\end {pmatrix}},

che si può riassumere come:

\large \mathrm{d} s ^ {2} = c ^ {2} \mathrm {d} t ^ {2} - \mathrm { d} x ^ {2} - \mathrm {d} y ^ {2} - \mathrm {d} z ^ {2}

Vedremo che nella metrica di Schwartzschild il tensore metrico non sarà costante, ma assumerà un valore diverso a seconda di massa della sorgente e distanza da essa.

La metrica di Schwartzschild

Con le dovute assunzioni di partenza – alle quali aggiungiamo l’esigenza che le previsioni della meccanica newtoniana debbano comunque rimanere valide per campi gravitazionali deboli e velocità contenute -, siamo ora pronti per affrontare, limitatamente ai nostri fini divulgativi, la soluzione di Schwartzschild all’equazione di campo di Einstein. La metrica di Schwartzschild, in coordinate polari, è la seguente.

Come avrete notato, una componente della metrica di Schwartzschild tende a infinito per la distanza (r) che tende a zero. Analogamente, un’altra componente tende ad infinito quando r si avvicina al valore r_s , il cosiddetto raggio di Schwartzschild. Chiamiamo questi punti singolarità.

In realtà, soltanto il punto in cui la distanza r è uguale a zero può dirsi una vera e propria singolarità della geometria dello spazio-tempo. Qui, la Relatività generale smette di aver senso. Congetture proprie della fantascienza piuttosto che della fisica sono spesso citate a tal proposito. Talvolta, tuttavia, nonostante manchino conferme sperimentali in merito, l’impalcatura matematica e geometrica della Relatività generale (e successivi sviluppi) consentirebbe l’esistenza di oggetti apparentemente stravaganti, come i buchi bianchi [3], o ponti spazio-temporali come i cosiddetti wormhole, etc.

È bene sottolineare che spesso, nella fisica, non è illegittimo spingersi a conclusioni così radicali. La storia della scienza, tra le altre cose, ci insegna che le idee più rivoluzionarie e – apparentemente – strampalate possono talvolta rivelarsi magicamente migliori dei modelli teorici precedentemente elaborati e accettati dalla tradizione. Dopo tutto, sembrava fuori luogo perfino la timida intuizione di Mitchell e de Laplace circa la possibilità che potessero esistere oggetti tanto densi da non permettere nemmeno alla luce di sfuggirvi, le “dark stars”, antesignane dei buchi neri. Oggi, i buchi neri confermati anche sul piano sperimentale (si veda L’origine del termine “buco nero” e Progetto EHT: la foto del secolo).

Raggio di Schwartzschild e buchi neri

La singolarità per r = r_s è invece una singolarità della metrica, risultante dalle coordinate scelte come riferimento: può essere rimovibile cambiando il nostro sistema di coordinate [4]. Tuttavia, risulta interessante approfondire il significato fisico del raggio di Schwartzschild. Si noti, per cominciare, che per sorgenti ordinarie, quali il Sole e i pianeti, il raggio di Schwartzschild risulta essere molto minore del loro raggio. Il Sole, con la sua massa e un raggio di quasi 700mila chilometri, avrebbe un raggio r_s di soli 3 chilometri. Gli oggetti in cui il raggio si contrae ad una misura inferiore al raggio di Schwartzschild, eccezionalmente densi, si chiamano buchi neri. I buchi neri di Schwartzschild sono quelli più semplici, originati dal collasso gravitazionale di una stella di grande massa nel momento in cui questa esaurisce il suo carburante nucleare.

Il raggio di Schwartzschild costituisce il punto di non ritorno del buco nero, l'”orizzonte degli eventi“, chiamato così per via dell’orientamento dei coni di luce che definiscono passato e futuro degli stessi eventi dello spazio-tempo. I coni di luce, perturbati dalla crescente curvatura dello spazio-tempo nei pressi del raggio di Schwartzschild, tendono a inclinarsi sempre più, mano a mano che ci si approssima al punto di non ritorno; da qui in avanti, le geodetiche entranti sono destinate a convogliare in un unico punto centrale, un “luogo” non fisico, la singolarità spazio-temporale del buco nero (r = 0).

Nei buchi neri, l’orizzonte degli eventi costituisce l’elemento effettivamente osservabile dall’esterno, essendo costituito da quei raggi di luce “intrappolati” in r_s, abbastanza energetici da resistere alla forza gravitazionale, ma non abbastanza da allontanarsi dal campo.

Red shift e dilatazione dei tempi in un buco nero

Cosa si vedrebbe se, dall’esterno, si seguisse con lo sguardo un oggetto in caduta libera (radiale) verso il buco nero? Si noterebbero due fenomeni. Il primo fenomeno si chiama “red shift gravitazionale“: l’oggetto apparirebbe sempre più rosso, fino a diventare invisibile. Questo avviene perché la luce (un’onda) viene come stirata dalla gravità, allungata nelle sue lunghezze d’onda più ampie dello spettro del visibile (in realtà, a allungarsi e deformarsi è lo spazio stesso, che “contiene” la luce). Quando l’allungamento è tale da fare uscire la luce dell’oggetto dallo spettro del visibile, l’occhio dell’osservatore esterno non riuscirà più a distinguerlo. Viceversa, dalla prospettiva dell’oggetto, si assisterebbe ad un fenomeno inverso, ma analogo nella causa: il “blue shift gravitazionale“.

Il secondo fenomeno, forse ancor più suggestivo, è quello della dilatazione temporale. Nei pressi di una massa, la Relatività generale prevede che spazio e tempo, come un’unica entità (lo spazio-tempo, appunto), subiscano delle deformazioni di carattere geometrico. Di fatto, in prossimità della massa, il tempo scorre più lentamente. Ne è una dimostrazione sperimentale il fatto che due orologi atomici di moderna costruzione, posti uno sul pavimento, l’altro su un tavolo, riescano a misurare una seppur minima differenza temporale. Nel caso di un buco nero, addirittura, osserviamo che il tempo rallenta tanto da fermarsi. Per questo, non vedremmo mai l’oggetto in caduta libera varcare l’orizzonte degli eventi di un buco nero; l’oggetto decelererebbe sempre più, fino a fermarsi. Il suo tempo proprio continuerebbe a scorrere inalterato, ovviamente, ma un osservatore esterno ne perderebbe le tracce (per via del red shift gravitazionale) prima ancora che possa vederlo attraversare quella soglia.

Note

[1] Articolo originale in PDF: qui.

[2] La metrica di Schwartzschild non è certo l’unica in grado di prevedere oggetti come i buchi neri. Oggetti a simmetria sferica e rotanti sono trattati nella metrica di Kerr (indagata, ad esempio, nella tesi https://amslaurea.unibo.it/13700/1/Tesi_De_Lillo.pdf); masse rotanti ed elettricamente cariche sono invece argomento della metrica di Kerr-Neumann.

[3] Per approfondire l’argomento e saperne di più circa sistemi di coordinate regolari per la soluzione di Schwartzschild, si veda https://amslaurea.unibo.it/16343/1/Tesi_Cornacchia_Isabel.pdf.

[4] In merito ai buchi bianchi, Buchi bianchi. Dentro l’orizzonte, Carlo Rovelli, Adelphi, Piccola Biblioteca Adelphi, 2023.